高校数学Ⅰ【数と式】対称式と交代式(3変数)の因数分解まとめと問題

  • 2020.08.17
  • 更新日:2020.08.18
  • 数学
高校数学Ⅰ【数と式】対称式と交代式(3変数)の因数分解まとめと問題

高校数学で学習する、対称式と交代式(3変数)の因数分解についてまとめました。

  • 対称式と交代式の違いがわからない
  • 対称式と交代式、因数分解するとどんな答えに?
  • 3つの変数がある対称式、交代式の因数分解を解くコツを知りたい

という方にオススメの内容です。

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対称式と交代式とは?

式の中のどの2文字を交換しても同じ式になるなら対称式どの2文字を交換しても前の式と符号だけ変わるのが交代式です。

対称式の例

\(x^2+y^2\)

\(x^3+y^3\)

\(x^3+y^3+z^3\)

\(x+y-xy\)

\((x+y)^2\)

\((x-y)^2\)

\((x+y)(y+z)(z+x)\)

\(x(y^2+z^2)+y(z^2+x^2)+z(x^2+y^2)+2xyz\)

\(x+y-xy=y+x-yx\)

\((x-y)^2=(y-x)^2\)

と\(x, y\)を入れ替えても式は等しくなります。このような式が対称式です。

特に2変数の対称式で\(x+y\)と\(xy\)は基本対称式と呼ばれます。

3変数の基本対称式は\(x+y+z\)と\(xyz\)と\(xy+yz+zx\)です。

対称式はすべて基本対称式を用いて表すことができます

\(x^2+y^2+z^2\)

\(=(x+y+z)-2(xy+yz+zx)\)

交代式の例

\(x^2-y^2\)

\(x^3-y^3\)

\((x-y)(y-z)(z-x)\)

\(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)\)

\(x(y-z)^3+y(z-x)^3+z(x-y)^3\)

\(x^2-y^2\)の\(x,y\)を入れ替えると、

\(y^2-x^2=-(x^2-y^2)\)

\((x-y)(y-z)(z-x)\)の\(x,y\)を入れ替えると、

\((y-x)(x-z)(z-y)\)

\(=-(x-y)(y-z)(z-x)\)

と、元の式の符号を入れ替えたものになっています。

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3変数の対称式と交代式の因数分解

公式を使わずに、3変数の対称式・交代式を解くとき、いずれも1つの文字に注目して整理するのが基本の解き方となります。

対称式の因数分解

\(x(y^2+z^2)+y(z^2+x^2)+z(x^2+y^2)+2xyz\)を因数分解してみます。

\(x\)の字数が高い順に式を整理します。

\(x(y^2+z^2)+y(z^2+x^2)+z(x^2+y^2)+2xyz\)

\(=x(y^2+z^2)+yz^2+x^2y+x^2z+y^2z+2xyz\)

\(=(y+z)x^2+(y^2+2yz+z^2)x+yz(y+z)\)

\(=(y+z)x^2+(y+z)^2x+yz(y+z)\)

\(y+z\)が共通因数になることに注目し、さらに進めていくと…

\(=(y+z)(x^2+xy+zx+yz)\)

\(=(y+z)\left\{ x(x+y)+z(x+y)\right\}\)

\(=(y+z)(x+y)(x+z)\)

輪環の順で整理します

\(=(x+y)(y+z)(z+x)\)

これも基本対称式で表されてますね。

交代式の因数分解

\(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)\)を因数分解してみます。

\(x\)の字数が高い順に式を整理します。

\(=x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)\)

\(=x^2(y-z)+y^2z-y^2x+z^2x-z^2y)\)

\(=x^2(y-z)-(y^2-z^2)x+y^2z-z^2y\)

\(=x^2(y-z)-(y+z)(y-z)x+yz(y-z)\)

\(=(y-z)(x^2-xy-zx+yz)\)

\(=(y-z)\left\{x(x-y)-z(x-y)\right\}\)

\(=(y-z)(x-y)(x-z)\)

輪環の順にするのでマイナス(-)を前に出して

\(=-(x-y)(y-z)(z-x)\)

交代式を因数分解すると、\((x-y)(y-z)(z-x)\)や\((a-b)(b-c)(c-a)\)のような交代式が因数に含まれます交代式と対称式の積になることもあります。

降べきの順だと難しいときは?

降べきの順に並べるやり方ではきつい場合は、くふうして解くことが必要になります。公式にもなっている\(a^3+b^3+c^3-3abc\)を例にして解くと…

\(a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc\)

\(=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc\)

\(=\left\{ (a+b)+c \right\} \left\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2 \right\} -3ab(a+b+c)\)

※やりづらければここまで\(a+b\)を文字に置き換えて解いてみてください。

\(=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2)-3ab(a+b+c)\)

\(=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab)\)

\(=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)

【問題】3変数の対称式と交代式の因数分解

問 次の式を因数分解しましょう。

(1)\(x+y+z+xy+yz+zx+xyz+1\)

→答え

(2)\(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)\)

→答え

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