高校数学Ⅰ【数と式】a3+b3+c3-3abcの因数分解公式!まとめと問題

高校数学Ⅰ【数と式】a<small><sup>3</sup></small>+b<small><sup>3</sup></small>+c<small><sup>3</sup></small>-3abcの因数分解公式!まとめと問題

高校数学で学習する、a3+b3+c3-3abcの因数分解の公式とその導き方、問題についてまとめました。

この因数分解の公式は3次式の基本の因数分解の公式から導くことができますが、やや難しいです。公式自体も覚えておくとテストで有利でしょう。

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a3+b3+c3-3abcの因数分解公式

\(a^3+b^3+c^3-3abc\)の因数分解の公式は次のようになります。

\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)

上の公式の証明は以下のとおりです。

\(a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) を利用

\(=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc\)

\(=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc\)

\(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\)の公式を利用

\(=\left\{ (a+b)+c \right\} \left\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2 \right\} -3ab(a+b+c)\)

\(=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2)-3ab(a+b+c)\)

\((a+b+c)\)が共通因数

\(=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab)\)

\(=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)

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【問題編】a3+b3+c3-3abcの因数分解

問 上で学習した公式を利用して、次の式を因数分解しましょう。

(1)\(x^3+y^3+8-6xy\)

→答え

(2)\((x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3\)

→答え

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