【素数の基本】素数の一覧表・種類・判定まとめと問題

【素数の基本】素数の一覧表・種類・判定まとめと問題

小学算数レベルでもわかる、素数の基本についてまとめました。

そもそも素数とは何か、「互いに素」とはどういうことか、3けたまでの素数の一覧、双子素数、三つ子素数、セクシー素数、回文素数、エマープ、「エラトステネスのふるい」を利用した簡単な素数判定方法について説明します。

1けた~3けたの素数を選ぶ問題もあります。

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素数とは

素数(そすう)とは1より大きい数(自然数)で、1とその数自身しか約数のない数のこと、正の約数が2つしかない数のことです。

素数の例 … 2,  5, 11, 17, 23, 53, 67, 89, 101, 233 … など

1は1しか正の約数がありませんが、素数ではありません。

素数を英語でいうと prime ( prime number ) になります。

偶数の素数は1個のみ?

偶数ということは約数に2を含むことになります。2以外の偶数はすべて素数ではありません。2は唯一の偶数の素数ということになります。

2けた以上の素数は1の位が1・3・7・9

2を除き素数はすべて奇数ですが、1の位が5になるものはすべて5の倍数になります。したがって(1けたの「5」を除き、)1の位が5になる2けた以上の数はすべて素数ではありません。

したがって2けた以上の素数の1の位は、5を除いた奇数、つまり「1・3・7・9」になります。

「互いに素」とは?

「互いに素(そ)」とはどちらも素数という意味ではなく、2つの整数が1以外に共通の約数を持たないという意味です。この場合は偶数と奇数という組み合わせも考えられます。

互いに素である2数の例 … 2と3、2と5、11と21、29と54

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3けたまでの素数一覧

1~999の、3けたまでの素数一覧になります。

※ 素数の一覧は Wikipedia「素数の一覧」 を参考にしています。

2けたまでの素数一覧

2けたまでの素数を区切って並べてみました。

1 ~ 9 2, 3, 5, 7
10 ~ 19 11, 13, 17, 19
20 ~ 29 23, 29
30 ~ 39 31, 37
40 ~ 49 41, 43, 47
50 ~ 59 53, 59
60 ~ 69 61, 67
70 ~ 79 71, 73, 79
80 ~ 89 83, 89
90 ~ 99 97

1けたの数、10 ~ 19の数は素数が4つあります。40 ~ 49、70 ~ 79 はそれぞれ素数が3つ、90 ~ 99 は素数が1つのみ、他はそれぞれ素数が2つあります。

規則性はなさそうですが、素数の10の位と1の位をひっくり返すと、1の位が偶数と5になるもの、19を除くといずれも素数になります。

ひっくり返しても素数になっている!

13 ⇔ 31

37 ⇔ 73

79 ⇔ 97

このような素数をエマープといいます。

1の位に注目すると?

1の位ごとに2けたまでの素数を並べてみました。

1の位 素数
1 11,  31, 41, 61, 71
2 2
3 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83
5 5
7  7, 17, 37, 47, 67, 97
9 19, 29, 59, 79, 89

1の位が3の素数が1番多かったです。1の位が3と9になる素数に、10の位が3,6,9になるものがありません。(3の倍数になるため)

1の位が7になるものと9になるものを比較すると、17と19をのぞき10の位が同じ素数がありません。

(20以降の2けたの素数)

1の位が7の素数 … 37, 47, 67, 97

1の位が9の素数 … 29, 59, 79, 89

3けたの素数一覧

3けたの素数一覧です。10ごとに区切っています。

100 ~ 109 101, 103, 107, 109
110 ~ 119 113
120 ~ 129 127
130 ~ 139 131, 137, 139
140 ~ 149 149
150 ~ 159 151, 157
160 ~ 169 163, 167
170 ~ 179 173, 179
180 ~ 189 181
190 ~ 199 191, 193, 197, 199
200 ~ 209 (なし)
210 ~ 219 211
220 ~ 229 223, 227, 229
230 ~ 239 233, 239
240 ~ 249 241
250 ~ 259 251, 257
260 ~ 269 263, 269
270 ~ 279 271, 277
280 ~ 289 281, 283
290 ~ 299 293
300 ~ 309 307
310 ~ 319 311, 313, 317
320 ~ 329 (なし)
330 ~ 339 331, 337
340 ~ 349 347, 349
350 ~ 359 353, 359
360 ~ 369 367
370 ~ 379 373, 379
380 ~ 389 383, 389
390 ~ 399 397
400 ~ 409 401, 409
410 ~ 419 419
420 ~ 429 421
430 ~ 439 431, 433, 439
440 ~ 449 443, 449
450 ~ 459 457
460 ~ 469 461, 463, 467
470 ~ 479 479
480 ~ 489 487
490 ~ 499 491, 499
500 ~ 509 503, 509
510 ~ 519 (なし)
520 ~ 529 521, 523
530 ~ 539 (なし)
540 ~ 549 541, 547
550 ~ 559 557
560 ~ 569 563, 569
570 ~ 579 571, 577
580 ~ 589 587
590 ~ 599 593, 599
600 ~ 609 601, 607
610 ~ 619 613, 617, 619
620 ~ 629 (なし)
630 ~ 639 631
640 ~ 649 641, 643, 647
650 ~ 659 653, 659
660 ~ 669 661
670 ~ 679 673, 677
680 ~ 689 683
690 ~ 699 691
700 ~ 709 701, 709
710 ~ 719 719
720 ~ 729 727
730 ~ 739 733, 739
740 ~ 749 743, 751
750 ~ 759 757
760 ~ 769 761, 769
770 ~ 779 773
780 ~ 789 787
790 ~ 799 797
800 ~ 809 809
810 ~ 819 811
820 ~ 829 821, 823, 827, 829
830 ~ 839 839
840 ~ 849 853
850 ~ 859 857, 859
860 ~ 869 863
870 ~ 879 877
880 ~ 889 881, 883, 887
890 ~ 899 (なし)
900 ~ 909 907
910 ~ 919 911, 919
920 ~ 929 929
930 ~ 939 937
940 ~ 949 941, 947
950 ~ 959 953
960 ~ 969 967
970 ~ 979 971, 977
980 ~ 989 983
990 ~ 999 991, 997

3けたの素数で最小のものは101、最大のものは997になります。

2けた以上の素数の1の位は 1,3,7,9 になりますが、100~119、190~199、820~829では1の位が1,3,7,9になるものが4つそろっています。

素数の種類

中学国文法 助詞の識別問題「ばかり」

双子素数、三つ子素数、いとこ素数、セクシー素数、回文素数、エマープなどについて見ていきます。

双子素数

差が2になる素数を双子素数(twin primes)といいます。

けた数 双子素数
1けた 3と5、5と7
2けた 11と13、17と19、29と31、41と43、59と61、71と73
3けた 101と103、107と109、137と139、149と151、179と181、191と193、

197と199、227と229、239と241、269と271、281と283、311と313、

347と349、419と421、431と433、461と463、521と523、569と571、

599と601、617と619、641と643、659と661、809と811、821と823、

827と829、857と859、881と883

100~199は双子素数が多いことがわかります。

三つ子素数

三つ子素数(prime triplets)とは、(p, p+2, p+6)あるいは(p, p+4, p+6)になる3つの素数のことです。三つ子素数は双子素数や、後で説明するいとこ素数、セクシー素数が含まれています。

三つ子素数の例

p, p+2, p+6 5と7と11、11と13と17、17と19と23、101と103と107など
p, p+4, p+6 7と11と13、37と41と43、97と101と103など

ちなみに差が2になる連続した3つの素数(p, p+2, p+4)は、「3と5と7」のみです。

いとこ素数

差が4になる素数の組をいとこ素数(cousin primes)といいます。

いとこ素数の例

7と11、19と23、97と101、223と227など

セクシー素数

差が6の素数の組をセクシー素数(sexy primes)といいいます。

セクシー素数の例

5と11、7と13、97と103、601と607など

回文素数

1けたも含めて、逆に読んでも同じ数になる素数のことを回文素数( palindromic prime)といいます。

3けたまでの回文素数

2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929

エマープ

エマープ (emirp) は素数(prime)を逆さに読んだものです。数字を逆に読むと別の素数になる素数のことです。

エマープの例

13と31, 17と71, 37と73、79と97、107と701、113と311、149と941、157と751、167と761、179と971、119と991、337と733など

素数の判定「エラトステネスのふるい」

100までの素数を見つける、エラトステネスのふるいを使った簡単な判定法について紹介します。

1とその数以外でわりきれたら素数ではありませんが、むやみにいろんな数でわっても効率が悪いです。

そこで100までの数からの素数の倍数を、ふるいにかけていきます。100までの数は2、3、5、7の倍数をふるいにかければOKです。

2けたの数でふるいにかけるとき、11以上の素数の倍数は考慮する必要はありません。11×2、11×3、11×5、11×7までは2けたで、11×11は3けたになります。2,3,5,7の倍数をふるいにかけた時点で素数でないことが判明します。

下のような1から100の数をふるいにかけていきます。

まず1は素数でないので消します。

2を残し、その他の2の倍数を消します。

3を残し、3の倍数を消します。

5を残し、5の倍数を消します。

7を残し、7の倍数を消します。

残った25個の数が素数です。

【問題編】素数を探そう

問 次のア~ウの数から素数になっているものをすべて記号で答えましょう。

(1) ア 57 イ 87 ウ 97

▼答え

(2) ア 43 イ 51 ウ 83

▼答え

(3) ア 23 イ 49 ウ 69

▼答え

(4) ア 123 イ 223 ウ 323

▼答え

(5) ア 101 イ 201 ウ 301

▼答え

(6) ア 267 イ 367 ウ 467

▼答え

(7) ア 549  イ 559 ウ 569

▼答え

(8) ア 803  イ 823 ウ 843

▼答え

(9) ア 313 イ 717 ウ 959

▼答え

(10) ア 343 イ 787 ウ 919

▼答え

twitter問題の答え

問題 セクシー素数はどれ?
ア 601と607
イ 821と823
ウ 953と959

正解はでした。(イは双子素数、ウは959が素数ではない→ 959=7×137)


倍数・約数を習った小学生なら理解できるレベルの、素数の解説でした。

素数を楽しく学べるゲームにPanasonict提供の iPhone, iPad用アプリ「Panasonic Prime  Smash!」があります。ゲームをしていると素数も覚えられ、素因数分解もすばやくできるようになるかもしれません。