高校数学Ⅰ【三角比】四面体の体積と内接球の半径求め方まとめと問題

高校数学Ⅰ【三角比】四面体の体積と内接球の半径求め方まとめと問題

四面体の体積と内接球の半径を、三角比を用いて求める解き方について解説しています。

正四面体の体積、内接球の半径の公式も「たしかめ」用に紹介してます。

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四面体の体積と内接球の半径を求める手順

上の図のようなAB=BC=CA、PA=PB=PCとなる四面体の体積、内接する球の半径の求め方を確認します。

体積を求める手順

Step1 底面積を求める

底面積は正弦やヘロンの公式などから求められます。

\(S=\displaystyle\frac{1}{2}AB\cdot CA \cdot sinA\)

三角比を用いた三角形の面積の求め方はこちらの記事が参考になります。

高校数学Ⅰ【三角比】三角形の面積の求め方まとめと問題

Step2 高さを求める

高さPHはPA、AHの長さから三平方の定理で求められます。(△PAHは直角三角形)

上の図は△ABCを上から見たところです。AH(BH、CHも)は外接円の半径になっています。AHは正弦定理を利用して求められます。

\(\displaystyle\frac{BC}{sinA}=2AH\)

AHが求められたらPHの長さを求めます。

\(PH=\sqrt{PA^2-AH^2}\)

Step3 体積を求める

Step1、Step2で求めた底面積と高さを用いて、

\(V=\displaystyle\frac{1}{3}S\cdot PH\)

で求められます。

なお正四面体のときはたしかめ算として、下の式を覚えておいても良いでしょう。

1辺\(a\)の正四面体の体積 … \(V=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\)

半径を求める手順

四面体PABCにおいて、△ABC、△PAB、△PBC、△PCAの面積をS1、S2、S3、S4とし、内接球の半径をrとすると、次のような等式が成り立ちます。

\(V=\displaystyle\frac{1}{3}r(S{_1}+S{_2}+S{_3}+S{_4})\)

この式を利用して内接球の半径rを求めます。

Step1 表面積を求める

底面積+側面積が表面積です。

側面積(△PAB、△PBC、△PCA)も体積Step1と同様、三角比やヘロンの公式、三平方の定理などを利用して求めます。正四面体なら底面積を4倍すれば表面積になります。

Step2 半径を求める

体積と表面積を

\(V=\displaystyle\frac{1}{3}r(S{_1}+S{_2}+S{_3}+S{_4})\)

に代入し、半径rを求めます。

なお正四面体のときはたしかめ算として、下の式を覚えておいても良いでしょう。

1辺\(a\)の正四面体に内接する半径の球の半径 … \(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{12}a\)

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【問題編】四面体の体積と内接球の半径を求めてみよう

1辺の長さが6である正四面体PABCの体積と、内接球の半径を求めましょう。

→答えを見る

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