1から100までの平方数の一覧と、平方数の性質についてまとめています。
- 「平方数って何?」
- 「1が並ぶ数字の平方数はひっ算なしでもできる?」
- 「1の位が5の数字の平方数の暗算法は?」
- 「フィボナッチ数に平方数はある?」
という方におすすめの内容です。知っておくとちょっと計算が楽になるかも?
平方数とは
平方とは2乗のことで、○の2乗なら○×○を指します。
平方数は自然数の2乗で表される数のことです。
1=1 × 1
4=2 × 2
64=8 × 8
121=11 × 11
225=25 × 25
10000=100 × 100
九九は小2で学習しますが、中学入試の算数では20までの平方数も覚えておくと計算で便利でしょう。中学生以上なら因数分解や平方根の計算、三平方の定理などで、平方数をある程度知っておくと役立ちます。
平方数の一覧と性質
1×1から100×100の平方数一覧表です。
元の数 | 平方数 | 元の数 | 平方数 |
---|---|---|---|
1 | 1 | 51 | 2601 |
2 | 4 | 52 | 2704 |
3 | 9 | 53 | 2809 |
4 | 16 | 54 | 2916 |
5 | 25 | 55 | 3025 |
6 | 36 | 56 | 3136 |
7 | 49 | 57 | 3249 |
8 | 64 | 58 | 3364 |
9 | 81 | 59 | 3481 |
10 | 100 | 60 | 3600 |
11 | 121 | 61 | 3721 |
12 | 144 | 62 | 3844 |
13 | 169 | 63 | 3969 |
14 | 196 | 64 | 4096 |
15 | 225 | 65 | 4225 |
16 | 256 | 66 | 4356 |
17 | 289 | 67 | 4489 |
18 | 324 | 68 | 4624 |
19 | 361 | 69 | 4761 |
20 | 400 | 70 | 4900 |
21 | 441 | 71 | 5041 |
22 | 484 | 72 | 5184 |
23 | 529 | 73 | 5329 |
24 | 576 | 74 | 5476 |
25 | 625 | 75 | 5625 |
26 | 676 | 76 | 5776 |
27 | 729 | 77 | 5929 |
28 | 784 | 78 | 6084 |
29 | 841 | 79 | 6241 |
30 | 900 | 80 | 6400 |
31 | 961 | 81 | 6561 |
32 | 1024 | 82 | 6724 |
33 | 1089 | 83 | 6889 |
34 | 1156 | 84 | 7056 |
35 | 1225 | 85 | 7225 |
36 | 1296 | 86 | 7396 |
37 | 1369 | 87 | 7569 |
38 | 1444 | 88 | 7744 |
39 | 1521 | 89 | 7921 |
40 | 1600 | 90 | 8100 |
41 | 1681 | 91 | 8281 |
42 | 1764 | 92 | 8464 |
43 | 1849 | 93 | 8649 |
44 | 1936 | 94 | 8836 |
45 | 2025 | 95 | 9025 |
46 | 2116 | 96 | 9216 |
47 | 2209 | 97 | 9409 |
48 | 2304 | 98 | 9604 |
49 | 2401 | 99 | 9801 |
50 | 2500 | 100 | 10000 |
平方数の一覧を眺めていると、気がつくことはありませんか?
平方数の1の位
平方数の1の位は0、1、4、5、6、9のみです。1の位が5になる平方数は1の位が5の数の平方のみなので、他の平方数より数が少ないです。
平方数 下2けたの性質
元の数の1の位が0だと、平方数の下2けたが00になるのは、小学校でも習ったとおりですね。1の位が1~9にもおもしろい規則性があります。
1~9と51~69の平方の下2けたは同じです。
元の数 | 平方数 | 元の数 | 平方数 |
---|---|---|---|
1 | 1 | 51 | 2601 |
2 | 4 | 52 | 2704 |
3 | 9 | 53 | 2809 |
4 | 16 | 54 | 2916 |
5 | 25 | 55 | 3025 |
6 | 36 | 56 | 3136 |
7 | 49 | 57 | 3249 |
8 | 64 | 58 | 3364 |
9 | 81 | 59 | 3481 |
11~19と61~69の平方の下2けたの数は同じです。
元の数 | 平方数 | 元の数 | 平方数 |
---|---|---|---|
11 | 121 | 61 | 3721 |
12 | 144 | 62 | 3844 |
13 | 169 | 63 | 3969 |
14 | 196 | 64 | 4096 |
15 | 225 | 65 | 4225 |
16 | 256 | 66 | 4356 |
17 | 289 | 67 | 4489 |
18 | 324 | 68 | 4624 |
19 | 361 | 69 | 4761 |
21~29と71~79の平方の下2けたの数は同じです。下2けたが41、84、29、76、25、76、29、84、41と下2けたが25になった時点で、逆順に同じ2けたの並びが続いています。
元の数 | 平方数 | 元の数 | 平方数 |
---|---|---|---|
21 | 441 | 71 | 5041 |
22 | 484 | 72 | 5184 |
23 | 529 | 73 | 5329 |
24 | 576 | 74 | 5476 |
25 | 625 | 75 | 5625 |
26 | 676 | 76 | 5776 |
27 | 729 | 77 | 5929 |
28 | 784 | 78 | 6084 |
29 | 841 | 79 | 6241 |
31~39と81~89の平方の下2けたの数は同じです。11~19と61~69の平方の下2けたの逆順になっています。
元の数 | 平方数 | 元の数 | 平方数 |
---|---|---|---|
31 | 961 | 81 | 6561 |
32 | 1024 | 82 | 6724 |
33 | 1089 | 83 | 6889 |
34 | 1156 | 84 | 7056 |
35 | 1225 | 85 | 7225 |
36 | 1296 | 86 | 7396 |
37 | 1369 | 87 | 7569 |
38 | 1444 | 88 | 7744 |
39 | 1521 | 89 | 7921 |
41~49と91~99の平方の下2けたの数は同じです。1~9と51~59の平方の下2けたの逆順になっています。
元の数 | 平方数 | 元の数 | 平方数 |
---|---|---|---|
41 | 1681 | 91 | 8281 |
42 | 1764 | 92 | 8464 |
43 | 1849 | 93 | 8649 |
44 | 1936 | 94 | 8836 |
45 | 2025 | 95 | 9025 |
46 | 2116 | 96 | 9216 |
47 | 2209 | 97 | 9409 |
48 | 2304 | 98 | 9604 |
49 | 2401 | 99 | 9801 |
上2けたも41~49は1ずつ、91~99は2ずつ増えて規則性があり、暗記しやすそうですね。
中学入試でも役立つ 11×11~19×19の平方数
11×11~19×19の平方数は、「100+1の位の数の20倍+1の位の平方」で求められます。(筆算の応用です。)
11×11=121=100+20+1
12×12=144=100+40+4
13×13=169=100+60+9
14×14=196=100+80+16
15×15=225=100+100+25
16×16=256=100+120+36
17×17=289=100+140+49
18×18=324=100+160+64
19×19=361=100+180+81
1の位が5の数の平方
1の位が5の数の平方は、すべて下2けたが25になります。また上のけたにも注目すべき性質があります。
15×15=225
25×25=625
35×35=1225
45×45=2025
55×55=3025
65×65=4225
75×75=5625
85×85=7225
95×95=9025
上の太字部分の数が、(十の位の数)×(十の位の数+1)になっていますね。
例えば15×15なら、十の位の数は1なので、1×(1+1)=1×2=2 → 225となり、65×65なら6×(6+1)=6×7=42 → 4225となります。
1が並ぶ数の平方
11×11、111×111、1111×1111…の平方数は、数字の並びが左右対称になります。元の数のけた数と平方数で出現する数字が一致しています。(111は3けた→平方数は3まで、111111は6けた→平方数は6まで出ている)
元の数 | 平方数 |
---|---|
11 | 121 |
111 | 12321 |
1111 | 1234321 |
11111 | 123454321 |
111111 | 12345654321 |
1111111 | 1234567654321 |
11111111 | 123456787654321 |
111111111 | 12345678987654321 |
平方数とフィボナッチ数列
フィボナッチ数列は下のように前の数とその前の数をたしていったものの数列です。
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …
このフィボナッチ数列の中で平方数は1と144しかないことが知られています。
まとめ
平方数の性質について確認してきました。平方数には規則性があり、覚えやすそうですね。
中学受験をする小学生や中学生、高校生は、11×11~19×19の平方数は知っておくと算数・数学で問題が解きやすくなります。ぜひ覚えておきましょう。