中学入試でも役立つ!平方数の一覧と平方の性質

中学入試でも役立つ!平方数の一覧と平方の性質

今回は数学、中学受験算数、雑学として、平方数の一覧と平方数の性質についてまとめました。

11×11~19×19の平方数の暗算のしかた、11、111、1111など1が並ぶ数を2回かけた数(平方数)、フィボナッチ数列にある平方数についても確認します。

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平方数とは

中学入試でも役立つ!平方数の一覧と性質

平方とは2乗のことで、○の2乗なら○×○を指します。

平方数は自然数の2乗で表される数のことです。

1=1 × 1

4=2 × 2

64=8 × 8

121=11 × 11

225=25 × 25

10000=100 × 100

九九は小2で学習しますが、中学入試の算数では20までの平方数も覚えておくと計算で便利でしょう。中学生以上なら因数分解や平方根の計算、三平方の定理などで、平方数をある程度知っておくと役立ちます。

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平方数の一覧と性質

中学入試でも役立つ!平方数の一覧と性質

1×1から100×100の平方数一覧表です。

元の数 平方数 元の数 平方数
1 1 51 2601
2 4 52 2704
3 9 53 2809
4 16 54 2916
5 25 55 3025
6 36 56 3136
7 49 57 3249
8 64 58 3364
9 81 59 3481
10 100 60 3600
11 121 61 3721
12 144 62 3844
13 169 63 3969
14 196 64 4096
15 225 65 4225
16 256 66 4356
17 289 67 4489
18 324 68 4624
19 361 69 4761
20 400 70 4900
21 441 71 5041
22 484 72 5184
23 529 73 5329
24 576 74 5476
25 625 75 5625
26 676 76 5776
27 729 77 5929
28 784 78 6084
29 841 79 6241
30 900 80 6400
31 961 81 6561
32 1024 82 6724
33 1089 83 6889
34 1156 84 7056
35 1225 85 7225
36 1296 86 7396
37 1369 87 7569
38 1444 88 7744
39 1521 89 7921
40 1600 90 8100
41 1681 91 8281
42 1764 92 8464
43 1849 93 8649
44 1936 94 8836
45 2025 95 9025
46 2116 96 9216
47 2209 97 9409
48 2304 98 9604
49 2401 99 9801
50 2500 100 10000

平方数の一覧を眺めていると、気がつくことはありませんか?

平方数の1の位

平方数の1の位は0、1、4、5、6、9のみです。1の位が5になる平方数は1の位が5の数の平方のみなので、他の平方数より数が少ないです。

平方数 下2けたの性質

元の数の1の位が0だと、平方数の下2けたが00になるのは、小学校でも習ったとおりですね。1の位が1~9にもおもしろい規則性があります。

1~9と51~69の平方の下2けたは同じです。

元の数 平方数 元の数 平方数
1 1 51 2601
2 4 52 2704
3 9 53 2809
4 16 54 2916
5 25 55 3025
6 36 56 3136
7 49 57 3249
8 64 58 3364
9 81 59 3481

11~19と61~69の平方の下2けたの数は同じです。

元の数 平方数 元の数 平方数
11 121 61 3721
12 144 62 3844
13 169 63 3969
14 196 64 4096
15 225 65 4225
16 256 66 4356
17 289 67 4489
18 324 68 4624
19 361 69 4761

21~29と71~79の平方の下2けたの数は同じです。下2けたが41、84、29、76、25、76、29、84、41と下2けたが25になった時点で、逆順に同じ2けたの並びが続いています。

元の数 平方数 元の数 平方数
21 441 71 5041
22 484 72 5184
23 529 73 5329
24 576 74 5476
25 625 75 5625
26 676 76 5776
27 729 77 5929
28 784 78 6084
29 841 79 6241

31~39と81~89の平方の下2けたの数は同じです。11~19と61~69の平方の下2けたの逆順になっています。

元の数 平方数 元の数 平方数
31 961 81 6561
32 1024 82 6724
33 1089 83 6889
34 1156 84 7056
35 1225 85 7225
36 1296 86 7396
37 1369 87 7569
38 1444 88 7744
39 1521 89 7921

41~49と91~99の平方の下2けたの数は同じです。1~9と51~59の平方の下2けたの逆順になっています。

元の数 平方数 元の数 平方数
41 1681 91 8281
42 1764 92 8464
43 1849 93 8649
44 1936 94 8836
45 2025 95 9025
46 2116 96 9216
47 2209 97 9409
48 2304 98 9604
49 2401 99 9801

上2けたも41~49は1ずつ、91~99は2ずつ増えて規則性があり、暗記しやすそうですね。

中学入試でも役立つ 11×11~19×19の平方数

11×11~19×19の平方数は、「100+1の位の数の20倍+1の位の平方」で求められます。(筆算の応用です。)

11×11=121=100+20+1

12×12=144=100+40+4

13×13=169=100+60+9

14×14=196=100+80+16

15×15=225=100+100+25

16×16=256=100+120+36

17×17=289=100+140+49

18×18=324=100+160+64

19×19=361=100+180+81

1の位が5の数の平方

1の位が5の数の平方は、すべて下2けたが25になります。また上のけたにも注目すべき性質があります。

15×15=225
25×25=625
35×35=1225
45×45=2025
55×55=3025
65×65=4225
75×75=5625
85×85=7225
95×95=9025

上の太字部分の数が、(十の位の数)×(十の位の数+1)になっていますね。
例えば15×15なら、十の位の数は1なので、1×(1+1)=1×2=2 → 225となり、65×65なら6×(6+1)=6×7=42 → 4225となります。

1が並ぶ数の平方

11×11、111×111、1111×1111…の平方数は、数字の並びが左右対称になります。元の数のけた数と平方数で出現する数字が一致しています。(111は3けた→平方数は3まで、111111は6けた→平方数は6まで出ている)

元の数 平方数
11 121
111 12321
1111 1234321
11111 123454321
111111 12345654321
1111111 1234567654321
11111111 123456787654321
111111111 12345678987654321

平方数とフィボナッチ数列

フィボナッチ数列は下のように前の数とその前の数をたしていったものの数列です。

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

このフィボナッチ数列の中で平方数は1と144しかないことが知られています。

まとめ

平方数の性質について確認してきました。平方数には規則性があり、覚えやすそうですね。

中学受験をする小学生や中学生、高校生は、11×11~19×19の平方数は知っておくと算数・数学で問題が解きやすくなります。ぜひ覚えておきましょう。