中3数学 変化の割合【2乗に比例する関数】

中3数学 変化の割合【2乗に比例する関数】

「2乗に比例する関数」での変化の割合の求め方を紹介します。1次関数では傾きと変化の割合は等しくなりますが、2乗に比例する関数では比例定数とは等しくなりません。しっかり変化の割合の公式を覚えておく必要があります。

基本の変化の割合の求め方を覚えておくことは必須ですが、裏技の公式もありますので「たしかめ算」として覚えておくのもおすすめです。今回は変化の割合の求め方(基本と裏技の公式)を確認の上、変化の割合の基本・応用問題を解いて実践力もつけていきましょう。

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変化の割合の求め方

変化の割合とは\(x\)が\(1\)増えるごとに\(y\)がいくつ増えるかを表したものです。

$$変化の割合=\frac{\,\,y の増加量\qquad} {\,x の増加量\qquad}$$

\(y=2x^{2}\)について、\(x\)の値が\(-1\)から\(3\)まで変化したときの変化の割合を求めてみます。

\(x\)が\(-1\)のとき、\(y=2\times(-1)^{2}=2\)

\(x\)が\(3\)のとき、\(y=2\times3^{2}=18\)

\(x\)が\(-1→3\)と\(4\)増えたとき、\(y\)は\(2→18\)と\(16\)増えることがわかります。\(x\)の増加量が\(4\)、\(y\)の増加量が\(16\)より、

$${16\over 4}=4$$

負の数が入っていると計算ミス(暗算ミス)が出やすいので注意してください。(\(x\)の値が\(-1→3\)まで変化したときの\(x\)の増加量を\(2\)とするミスがよく見られます。)

次に\(y=-x^{2}\)について、\(x\)の値が\(-1\)から\(3\)まで変化したときの変化の割合を求めてみます。

\(x\)が\(-1\)のとき、\(y=-(-1)^{2}=-1\)

\(x\)が\(3\)のとき、\(y=-3^{2}=-9\)

\(x\)xが\(-1→3\)になって\(4\)増えたとき、\(y\)は\(-1→-9\)と\(8\)減少(\(-8\)増加)したことがわかります。\(x\)の増加量が\(4\)、\(y\)の増加量\(-8\)より、

$${-8\over 4}=-2$$

このとき\(y\)の増加量を\(8\)としないよう注意してください。

変化の割合 裏技公式

この公式は、\(変化の割合=\frac{\,\,\displaystyle y の増加量\qquad}{\,\,\displaystyle x の増加量\qquad}\)を必ず理解した上で使うようにしてください。

$$y=ax^{2}でxがp→qと変化するとき$$

$$変化の割合=a(p+q)$$

\(y=2x^{2}\)について、\(x\)の値が\(-1\)から\(3\)まで変化したときの変化の割合を求めたい場合、

\(a=2,\,p=-1,\,q=3\) より \(2(-1+3)=4\)

と求められます。

なぜ上のような公式が導かれるのかは、次の式を参考にしてください。

$${\,\,y\mbox{の増加量}\qquad \over \,\,x\mbox{の増加量}\qquad } $$

$$={aq^{2}-ap^{2}\over q-p}$$

$$={a(q^{2}-p^{2})\over q-p}$$

$$={a(q+p)(q-p)\over q-p}$$

$$=a(q+p)$$

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変化の割合の例題

変化の割合 基本問題

例題1 \(y=\displaystyle\frac{1}{2}x^{2}\)で、\(x\)が\(2\)から\(4\)まで増加するとき、変化の割合を求めなさい。

$$x=2のとき\,y=\frac{1}{2}\times2^{2}=2$$

$$x=4のとき\,y=\frac{1}{2}\times4^{2}=8$$

$$x=2→x=4のときxの増加量は4-2=2$$

$$y=2→y=8のときyの増加量は8-2=6$$

$$\frac{6}{2}=3$$

変化の割合は\(3\)となります。

別解】裏技の公式を利用すると…

\(\displaystyle\frac{1}{2}\times{(2+4)}=3\)

変化の割合から比例定数を求める問題

例題2 関数\(y=-ax^{2}\)で\(x\)が\(2\)から\(5\)まで変化するとき、変化の割合が\(-21\)だった。\(a\)の値を求めなさい。

\(x\)が\(2\)から\(5\)まで増加→\(x\)の増加量\(3\)

\(x=2\)のとき\(y=-4a\)、\(x=5\)のとき\(y=-25a\)より

\(y\)の増加量は\(-25a-(-4a)=-21a\)

変化の割合を\(a\)を使って表すと、

\(\displaystyle\frac{-21a}{3}=-7a\)

これがと等しくなるので

\(-7a=-21\)

\(a=3\)

別解】裏技の公式を利用すると…

\(-a\times (2+5)=-21\)

\(-7a=-21\)

\(a=3\)

変化の割合 応用問題

例題3 1次関数 \(y=4x+1\) と2乗に比例する関数 \(y=ax^{2}\) で\(x\)が\(-1\)から\(3\)まで増加するとき、変化の割合が等しくなった。このときの\(a\)の値を求めなさい。

\(y=4x+1\)の変化の割合は\(4\)です。(1次関数の変化の割合は一定で、傾きと等しくなります。)

\(x=-1\)のとき\(y=a\)、\(x=3\)のとき\(y=9a\)となるので、\(x\)の増加量は\(3-(-1)=4\)、\(y\)の増加量は\(9a-a=8a\)

変化の割合が\(\displaystyle\frac{8a}{4}=2a\)

\(2a=4\)

\(a=2\)

別解】裏技の公式を利用すると…

\(a\times (-1+3)=4\)

\(a=2\)

例題4 2乗に比例する関数\(y=\displaystyle\frac{3}{4}x^{2}\)で\(x\)が\(t\)から\(t+4\)まで増加するとき、変化の割合が\(6\)になった。このときの \(t\) の値を求めなさい。

\(x\)の増加量は\(4\)です。

\(x=t\)のとき\(\displaystyle\frac{3}{4}t^{2}\)、\(x=t+6\)のとき\(\displaystyle\frac{3}{4}(t+6)^{2}\)

\(y\)の増加量は\(\displaystyle\frac{3}{4}(t+6)^{2}-\displaystyle\frac{3}{4}t^{2}=9t+27\)

変化の割合を \(t\) で表すと、\(\displaystyle\frac{9t+27}{6}\)

これが変化の割合\(6\)と等しくなるので

\(\displaystyle\frac{9t+27}{6}=6\)

\(9t+27=36\)

\(t=1\)

別解】裏技の公式を利用すると…

\(\displaystyle\frac{3}{4}{\times\{t+(t+6)=8}\}\)

\(2t+6=8\)

\(2t=2\)

\(t=1\)

まとめ

2乗に比例する関数の「変化の割合」について解説してきましたが、いかがでしたでしょうか。

\(y=ax^{2}\) で使える変化の割合の裏技公式も紹介しましたが、まずは変化の割合の基本の考え方で解くことができるようになってから、チャレンジしてみてくださいね。