中3数学 2次方程式の利用(解の利用、数に関する問題)

中3数学 2次方程式の利用(解の利用、数に関する問題)

2次方程式の解き方を一通り理解できても、文章題になるとどのように式をたてたら良いのかわからない…という方のために、今回は2次方程式の利用の中でも解を利用する問題、数に関する問題について解説します。

文章問題攻略のコツは問題の解法パターンをつかむこと。2次方程式の利用(解を利用する問題、数に関する問題)の例題と、練習問題も準備しました。式をたてる練習をして、2次方程式の文章題に強くなりましょう。

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2次方程式の利用(解を利用する問題)

解を利用する問題1

まずは解を利用する基本的な問題です。

【例題】2次方程式\(x^{2}+ax+14=0\)の1つの解が\(x=2\)のとき、\(a\)の値ともう1つの解を求めなさい。

解がすでに1つ求められているので、もとの2次方程式に\(x=2\)を代入します。

\(2^{2}+2a+14=0\)

\(a=-9\)よりもとの2次方程式は\(x^{2}-9x+14=0\)となります。これを解くと\(x=2,\,7\)

解を利用する問題2

【例題】2次方程式\(x^{2}+ax-b=0\)の解が\(x=-5,\,x=2\)のとき、\(a,\,b\)の値を求めなさい。

この問題の解き方を2通り解説します。

連立方程式で解く方法

\(x^{2}+ax-b=0\)に\(x=-5,\,x=2\)を代入した連立方程式を作ります。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 25-5a-b=0 \\ 4+2a-b=0 \end{array} \right.\end{eqnarray}

これを解くと\(a=3,\,b=10\)

解より2次方程式を作る方法

2次方程式の\(x^{2}+ax+b=0\)の解が\(x=m,\,x=n\)のとき、\((x-m)(x-n)=0\)

\(x^{2}+ax-b=0\)の解が\(x=-5,\,x=2\)であることから、\((x+5)(x-2)=0\)

左辺を展開すると

\(x^{2}+3x-10=0\)

\(a=3,\,b=10\)

2次方程式の\(x^{2}+ax+b=0\)の解が\(x=m,\,x=n\)のとき、\((x-m)(x-n)=0\)であることから\(x^{2}-(m+n)x+mn=0\)と表せます。

したがって\(a=-(m+n),\,b=mn\)

このことから\(x^{2}+ax-b=0\)での\(a,\,b\)の値は\(a=3,\,b=10\)と求めることができます。

【補足】解と係数の関係

\(x^{2}+ax+b=0\)で\(a=0\)でないとき、2つの解を\(α,\,β\)とすると

$$α+β =-a$$

$$αβ =b$$

となります。

例えば2次方程式の解が\(x=-7,\,x=3\)のとき、\(-a=-7+3=-4\)より\(a=4\)、\(b=-7\times 3=-21\)となります。

上のように\(x^{2}\)の係数が1でないときは両辺を\(a\)で割って考えます。

\(ax^{2}+bx+c=0\)で\(a=0\)でないとき、2つの解を\(α,\,β\)とすると

$$α+β =-{{b}\over a}$$

$$αβ ={c\over {a}}$$

となります。

私立、中高一貫校以外の中学数学では学習することはほとんどありませんが、難関校入試で役立つことがあるかもしれません。

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2次方程式の利用(数を求める問題)

1つの数を求める問題

【例題】ある正の数を2乗して3を加えるところを、正の数を2倍してから3を加えてしまい、正しい答えより120小さくなった。正の数を求めなさい。

まず式のイメージを考えます。

【ある正の数を2乗して3を加えるところ】とありますが、この計算をしたら【正しい答え】になります。

(正の数を2倍してから3を加えた数)=(正しい答え)-120

つまり

(正の数を2倍してから3を加えた数)=(正の数を2乗して3を加えた数)-120

正の数を\(x\)とおくと、

\(2x+3=x^{2}+3-120\)

と式がたてられます。

これを解くと(\(x>0\))より\(x=12\)となります。

この式を解くと\(x=-10,\,12\)になりますが、求める数は正の数(\(x>0\))なので\(x=12\)となります。

よって答えは\(12\)となります。

2つの数を求める問題

【例題】大小2つの自然数があり、その差は6で積が91となる。このような2つの自然数を求めなさい。

まず式のイメージを考えます。

大小の数の【差は6】は後回しにして、大小の数の【積が91】ということから

(大きい方の数)×(小さい方の数)=91

差が6ということなので大きい方は小さい方より6大きい数になり、

(小さい方の数+6)×(小さい方の数)=91

小さい方の数を\(x\)とおくと、

\((x+6)\times x=91\)

\(x(x+6)=91\)

これを解くと

\(x=-13,\,7\)

になりますが、求める数は自然数なので\(x>0\)より\(x=7\)

このとき\(x=-13,\,7\)から\(-13,\,7\)をそのまま答えにしないよう注意してください。

小さい方の数が\(7\)なので大きい方の数は\(x+6=7+6=13\)

よって2つの自然数は\(7\)と\(13\)になります。

連続した3つの数を求める問題

【例題】連続する3つの自然数があり、小さい方の2数の積の2倍と大きい方の2数の積に10を加えた数が等しくなる。3つの自然数を求めなさい。

まず式のイメージを考えます。

(小さい方の2数の積)×2=(大きい方の2数の積)+10

連続する3つの自然数を\(x-1,\,x,\,x+1\)と表すと、

\(2x(x-1)=x(x+1)+10\)

これを解くと\(x>0\)より\(x=5\)

真ん中の数が\(5\)になったので、答えは\(4,\,5,\,6\)となります。

【問題編】2次方程式の利用

問1 2次方程式\(x^{2}+ax+b=0\)の解が\(x=-3,\,x=8\)のとき、\(a,\,b\)の値を求めなさい。

答 答えを確認

問2 ある正の数を2乗して3をかけるところを、正の数を2倍してから3をたしてしまった。そのため正しい答えより37小さくなった。この正の数を求めなさい。

答 答えを確認

問3 2けたの自然数がある。十の位の数は1の位の数より2大きく、十の位の数を2乗するともとの2けたの自然数より26小さい。2けたの自然数を求めなさい。

答 答えを確認

まとめ

2次方程式の解を利用する問題、数に関する問題に少し慣れたでしょうか。

解を利用する問題では、解を2次方程式に代入するか、わかっている2つの解から2次方程式をたてる(あるいは解と係数の関係を利用する)、数に関する文章題では問題文から式のイメージをつかみ、文字を使って式をたてるようにする、のが基本です。

特に数に関する問題では求める値が整数なのか、正の整数(自然数)なのか、答えは1つだけ求めるのか複数求めるのか、設問に合った答えが求められているか吟味する必要があるので注意してくださいね。