中3数学 2次方程式の解き方【基本編】

中3数学 2次方程式の解き方【基本編】

今回は2次方程式の解き方【基本編】の解説・問題演習となります。基本の因数分解や平方根を利用した解き方、解の公式を使った解き方について確認します。

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2次方程式の解き方(因数分解を利用)

次の2次方程式の解き方を見てみましょう。

\((x+2)(x-3)=0\)

積が0になるので、(x+2)と(x-3)のどちらかが0になれば良いことになり、

\(x+2=0,x-3=0\)

\(x=-2,\,x=3\)

となります。

因数分解できる2次方程式は、因数分解してから解きます

\(x^{2}+6x+8=0\)

\((x+2)(x+4)=0\)

\(x+2=0,\,x+4=0\)

\(x=-2,\,x=-4\)

つまり、

\((x-a)(x-b)=0\)

のとき

\(x=a,\,x=b\)

と、かっこの中の数字の符号を逆にするだけで解が求められます。

ただし、かっこの中でxの前に数字があるとき

\((x+1)(2x-1)=0\)

\(x+1=0,\,2x-1=0\)

$$x=-1,\,x={1 \over 2}$$

となります。

x(x-a)=0のタイプは要注意。

\(x(x-4)=0\)

\(x=0,\,x-4=0\)

\(x=0,\,x=4\)

x=4のみを答えにするというミスをする人が多いので注意してください。(x=0も忘れずに!)

2次方程式は解が2つになるものが多いですが、下のような2次方程式では解が1つになります。

\(x^{2}-6x+9=0\)

\((x-3)^{2}=0\)

\(x-3=0\)

\(x=3\)

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2次方程式の解き方(平方根を利用)

\(x^{2}=5\)

\(x^{2}=\pm\sqrt{5}\)

xを2乗して5になるということは、xは右辺の「5」の平方根ということになります。

\(x^{2}=a\)

\(x=\pm\sqrt{a}\)

\(x^{2}-3=0\)

なら移項して

\(x^{2}=3\)

の形にして

\(x^{2}=\pm\sqrt{3}\)

と、解くことができます。

x2の前に係数がある場合は、

\(4x^{2}=3\)

\[
x^{2} = \frac{3}{4}
\]

$$x =\pm { \sqrt{3} \over 2}$$

と解くことができます。

(x-a)2=□(□が正の数の場合)のタイプの2次方程式は、次のように解くことができます。

\((x-2)^{2}=3\)

\(x-2=\pm\sqrt{3}\)

\(x=2\pm\sqrt{3}\)

x-2=Xと置き換えて考えれば、上で解いた2次方程式と同じように解くことができます。

\((x-2)^{2}=4\)

\(x-2=\pm{2}\)

\(x=2\pm{2}\)

右辺がまだ計算できるので、たし算した場合、引き算した場合、両方の答えを求めます。

\(x=4,\,0\)

(x-a)2の前に数字がある場合は次のように解きます。

\(3(x-1)^{2}=5\)

$$(x-1)^{2} ={5\over 3}$$

$$x-1 =\pm{\sqrt{15}\over 3}$$

$$x = 1\pm{\sqrt{15}\over 3}$$

平方完成での解き方

\(x^{2}-4x=3\)

上の式のままだと平方根の考え方では解けないように見えます。

でも上の式が

\(x^{2}-4x+4=a\)

だったら、

\((x-2)^{2}=a\)

\(x-2=\pm\sqrt{a}\)

\(x=2\pm\sqrt{a}\)

と解くことができますよね。このように解くために、方程式の両辺に4をたしてみます。

\(x^{2}-4x=3\)

\(x^{2}-4x+4=3+4\)

\((x-2)^{2}=7\)

\(x-2=\pm\sqrt{7}\)

\(x=2\pm\sqrt{7}\)

xの係数(上の式では4)を2で割った数の2乗を両辺にたして、(x-a)2=□の形に変形するのがポイントです。aに入る数字はxの係数を2で割ったものです。

\(x^{2}-6x-1=0\)

ならxの係数6を2で割って2乗→9を両辺にたします。

\(x^{2}-6x-1=0\)

\(x^{2}-6x=1\)

\(x^{2}-6x+9=1+9\)

\((x-3)^{2}=10\)

\(x-3=\pm\sqrt{10}\)

\(x=3\pm\sqrt{10}\)

2次方程式の解き方(解の公式を利用)

解の公式は因数分解が解けない、というときの必殺技のような公式です。覚えるのに苦労する人も多いとか。

\(ax^{2}+bx+c=0\)のとき、

$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$

↑解の公式です。

例えば\(2x^{2}-3x-6=0\)の解を求めるとき、解の公式に\(a =2,\,b=-3,\,c=-6\)を代入して

$$x = {-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4×2×(-6)} \over 2×2}$$

$$= {{3 \pm \sqrt{58} }\over 4}$$

\(3x^{2}-5x-2=0\)の解は、

$$x = {5 \pm \sqrt{(-5)^2-4×3×(-2)} \over 2×3}$$

$$= {{5 \pm \sqrt{49} }\over 6}$$

$$= {{5 \pm 7 }\over 6}$$

$$x=2 ,\,-{1 \over 3}$$

と求めることができます。

解の公式の証明(導き方)

解の公式を導くにはいくつか方法がありますが、教科書などでよく説明されているのは下のような導き方です。

\(ax^{2}+bx+c=0の両辺をaで割ると\)

$$x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}=0$$

$$x^{2}+{b \over a}x=-{c \over a}$$

$$両辺に{b^{2} \over 4a^{2}}を加える$$

$$x^{2}+{b \over a}x+{b^{2} \over 4a^{2}}=-{c \over a}+{b^{2} \over 4a^{2}}$$

$$(x+{b \over 2a})^{2} =-{4ac \over 4a^{2} }+{b^{2} \over 4a^{2}}$$

$$(x+{b \over 2a})^{2} ={b^{2}-4ac \over 4a^{2}}$$

$$x+{b \over 2a} =\pm \sqrt{{b^{2}-4ac \over 4a^{2}}}$$

$$x = -{b \over 2a}\pm{\sqrt{b^2-4ac}\over 2a}$$

$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$

【問題編】2次方程式の解き方(基礎)

問1 \((x+1)(x-7)=0\)

答えを確認

問2 \((x+2)(3x-1)=0\)

答えを確認

問3 \(x^{2}-x-12=0\)

答えを確認

問4 \(x^{2}-6x=0\)

答えを確認

問5 \(x^{2}-8x+16=0\)

答えを確認

問6 \((x-4)^{2}=9\)

答えを確認

問7 \(x^{2}-6x=1\)

答えを確認

問8  \(x^{2}-4x-9=0\)

答えを確認

問9  \(x^{2}-5x+1=0\)

答えを確認

問10 \(2x^{2}+3x-1=0\)

答えを確認

まとめ

2次方程式の解き方の基本問題を確認してきましたがいかがでしたでしょうか。

2次方程式を解く場合、

$$ {(x-a)(x-b)=0}$$の形にできるものは因数分解して解き、

$$ {x^{2}=□}$$の形にできるものは、平方根の考え方で解く。

上の解き方ができない場合は平方完成解の公式で解く、特に\(x^{2}\)の係数が1以外の場合は解の公式を使うと楽でしょう。