【中学受験】2進法、N進法の考え方と図を使った問題の解き方

【中学受験】2進法、N進法の考え方と図を使った問題の解き方

中学受験の算数で出題される、2進法やN進法に関する問題の解き方をまとめました。

2進法、N進法を10進法になおすにはどのように考えるのか、また逆に10進法を2進法、N進法になおすにはどのように考えるのか、図を使った2進法、3進法の問題についても確認します。

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2進法・N進法の考え方と問題の解き方

Gerd AltmannによるPixabayからの画像

ふだん私たちがよく使っている数字は10進法です。でも時計(時間)の数え方は60進法になっています。2進法やN進法とはどんな数え方になっているのでしょうか。

2進法とは?

2進法で使われる数は0と1の2種類です。(2~9は使われません)

10進法では1の位、10の位、100の位、1000の位、10000の位…となりますが、2進法では1の位、2の位、4の位、8の位、16の位…となります。

  • 2進法で1なら10進法でも1
  • 2進法で10なら10進法では2
  • 2進法で11なら10進法では3
  • 2進法で100なら10進法では4
  • 2進法で101なら10進法では5
  • 2進法で110なら10進法では6
  • 2進法で111なら10進法では7
  • 2進法で1000なら10進法では8
  • 2進法で1001なら10進法では9
  • 2進法で1010なら10進法では10

となります。

もう少し大きな数で考えてみましょう。

例えば「10110」という2進法で表された数は、10進法だと22になります。

16×1+4×1+2×1=22

N進法とは?

N進法は0を含めたN種類の記号(数字やアルファベットなど)で数を表す方法です。

  • 2進法なら0,1を使って表す
  • 3進法なら0,1,2を使って表す
  • 4進法なら0,1,2,3を使って表す
  • 5進法なら0,1,2,3,4を使って表す
  • 6進法なら0,1,2,3,4,5を使って表す
  • 7進法なら0,1,2,3,4,5,6を使って表す
  • 8進法なら0,1,2,3,4,5,6,7を使って表す
  • 9進法なら0,1,2,3,4,5,6,7,8を使って表す
  • 10進法なら0,1,2,3,4,5,6,7,8,9を使って表す

3進法で210と表された数は、10進法で表すと21になります。

9×2+3×1=21

10進法を2進法、N進法で表すには?

時間は60進法で表されています。

4202秒を時間・分・秒で表すとき、4200÷60=70あまり2となるので70分と2秒、さらに70÷60=1あまり10となって1時間と10分、つまり4202秒は1時間10分2秒と求めることができます。

4200÷60=70あまり2…あまりの2が「秒」

70÷60=1あまり10…あまりの10が「分」

最後の計算の商である1が「時間」

このように10進法で表した数をN進法で表すには、Nでもとの数や商をどんどんわっていき、そのあまりを小さい位から並べていきます。そして最後の商を最も大きな位にします。

57を2進法で表したければ、下のように計算していきます。

57÷2=28…1

28÷2=14…0

14÷2=7…0

7÷2=3…1

3÷2=1…1(商が2より小さくなったので終了)

よって111001となります。

32×1+16×1+8×1+1=57となっていますね。

筆算を利用すると下のとおり。

矢印の順に上から数を並べていくイメージです。

この逆さまに進めていく筆算、どうしても苦手なお子さんもいるようで…(中学生でも)。

(筆算自体がテストに出ないことを前提に)どうしても慣れないならひとまずふつうのわり算でも解ければいいと思います。N進法になおすとき、わり算のあまりと最後の商を利用するという基本的な考え方を、まずは理解しておけばOKでしょう。

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2進法 図を使った問題の考え方

2進法やN進法の考え方を数ではなく図に応用させて解かせる問題も、中学受験の算数ではよく出題されます。

【例題】下の図のようにマス目に色をぬって1から4の数が表されています。5や6はどのようにぬったらよいでしょうか。

これも2進法です。それぞれのマス目が1の位、2の位、4の位を表しています。

よって5、6なら下の図のようにマス目をぬればOKです。

【問題編】2進法、N進法に関する問題

問1 2進法の数1100を10進法で表しましょう。

▼答え

問2 3進法の数1021を10進法で表しましょう。

▼答え

問3 93を2進法で表しましょう

▼答え

問4 下の図のようにマス目に色をぬって数字が表されています。このとき12はどのようにマス目をぬったらよいでしょうか。

▼答え

まとめ

2進法、N進法の考え方について確認してきました。ざっくりN進法⇔10進法のなおしかたをまとめておきます。

わたしたちがふだん使っている数は10進法で表された数(10進数)で、1の位、10の位、100の位…と考えます。

2進法なら1の位、2の位、4の位、8の位…

3進法なら1の位、3の位、9の位、27の位…

N進法なら1の位、Nの位、N×Nの位、N×N×Nの位…

となります。

2進法、N進法で表された数を10進法になおすときは、□の位の数が〇なら□×〇とし、位ごとの「□×〇」をたしていけば良いです。

例えば2進法で110なら4の位が1、2の位が1、1の位が0なので、4×1+2×1+1×0のようになります。

10進法で表された数を2進法、N進法になおすときは、2やNでわっていき、そのあまりと最後の商を1の位から並べていけばOKです。

例えば17を2進法で表したければ、17÷2=8あまり1(1の位)、8÷2=4あまり0(2の位)、4÷2=2あまり0(4の位)、2÷2=1あまり0(あまりが8の位、商が16の位)より10001となります。

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