高校数学A【図形の性質】三角形の辺と角の大小関係と成立条件まとめと問題

高校数学A【図形の性質】三角形の辺と角の大小関係と成立条件まとめと問題

三角形の辺と角の大小関係と、三角形の成立条件に関するまとめと問題です。

角が大きいほど対辺も大きくなります。そのことを利用するとすべての角や辺の大きさを求めなくても、大小関係を推理することができます。

また三角形が成立するために、他の2辺の大きさから残りの1辺がどのような範囲になればよいかも求めることができます。

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三角形の辺と角の大小関係

三角形の辺と角(頂点と対辺)の大小関係は一致します。

下の図で\(\angle A>\angle B>\angle C\)のとき、\(a>b>c\)であり、\(a>b>c\)のとき\(\angle A>\angle B>\angle C\)となります。

三角形の辺と角の大小関係

\(\angle A>\angle B>\angle C\)⇔\(a>b>c\)

\(a=4、b=7、c=5\)なら、\(\angle B>\angle C>\angle A\)となります。

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三角形の成立条件

三角形が成立するには、\(a+b>c、 b+c>a、c+a>b\)がすべて成り立たないといけません。

上の式より、三角形の成立条件は次のようにまとめることができます。

三角形の成立条件

\(|b−c|<a<b+c\)

|c−a|<b<c+aでも|a−b|<c<a+bでも良いです。1つの辺が他の2辺の差より大きく和より小さければ、三角形が成立することになります。

\(a=3、b=8、c=5\)のときは成り立たず、\(a=4、b=8、c=5\)のときは成り立ちます。

また\(a=7、b=8、c=x\)のとき三角形が成立する\(x\)の範囲は\(|8−7|<x<8+7\)より\(1<x<15\)となります。

【問題編】三角形の辺と角の大小関係と成立条件

問1 次の△ABCについて、角や辺の大小関係を答えましょう。

(1) \(\angle A=100^\circ、b=4、c=2\)のとき、3つの角の大小関係

→答え

(2) \(\angle A=60^\circ、\angle B=40^\circ\)のとき、3つの辺の大小関係

→答え

問2 \(△ABC\)の3辺の長さが\(a=5、b=11、c=xの\)とき、\(x\)のとりうる範囲を求めましょう。

→答え

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