中学数学平方根!整数・小数部分の求め方って?

中学数学平方根!整数・小数部分の求め方って?

平方根の応用問題って案外厄介だったりします。計算まではサクサク解けても、文章題になると「?」で頭がいっぱいになってしまうという中学生も多いようです。

特に曲者(くせもの)なのが無理数の整数部分、小数部分を求める問題。解法を知らないと数学が得意な生徒でも自力ではなかなか解けないことが多いです。今回はそんな厄介な平方根の整数部分、小数部分の求め方に関する問題を解説します。

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平方根の整数部分ってどうやって求めるの?

まず平方根の整数部分を求めることから考えてみましょう。まずはこちら。
\[
\sqrt{4}
\nonumber\]
整数部分、というかこの場合は整数の2になりますよね。それではコチラだったら?
\[
\sqrt{5}
\nonumber\]
さっきよりルートの中が1増えただけだから、多分整数部分も2…と予想はできそうですよね?
といっても適当に考えると思わぬミスが出るかもしれませんので、もう少し数学的に考えてみましょうか。
\[
\sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9}
\]
となりますよね。なんでルート9が出てくるのかというと、(1)は下の(2)のように書き換えることができます。
\[
2<\sqrt{5}<3
\]
ルートの中が4, 9, 16, 25, 36…のような数(平方数)だと整数にできます。
それらの数で不等号「<」を使ってはさむことで、無理数の整数部分が求められます。

整数部分を求めたいときは、下のような数で不等号「<」を使ってはさむ!

\[
\sqrt{4},\sqrt{9},\sqrt{16},\sqrt{25},\sqrt{36},\sqrt{49},\sqrt{64},\sqrt{81},\sqrt{100}…
\nonumber\]

練習問題 次の数の整数部分を求めましょう。

\[
\sqrt{47}
\nonumber\]

 

 

 

どうでしょう?わかりましたか?

\[
\sqrt{36}<\sqrt{47}<\sqrt{49}
\nonumber\]

より、

\[
6<\sqrt{47}<7
\nonumber\]

6と7の間の数、ということは整数部分が6だとわかります。

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平方根の整数部分がわかれば小数部分は簡単!

 

 

小数部分は簡単!と書きましたが、正確にいえば正の数は簡単です。(負の数に関しては後ほど・・・)

\[
\sqrt{47}
\nonumber\]

こちらの数の整数部分は6でしたね。小数部分はもとの数から整数部分をひけば求められますので、

\[
\sqrt{47}-6
\nonumber\]

小数部分は上のような式になります。すっきりとした数ではないんですね。

負の数の整数部分・小数部分は要注意!

数ー整数部分=小数部分

ただし0<小数部分<1

例えば2.7の整数部分は2、小数部分は2.7-2=0.7です。計算するまでもないでしょうか。

ちなみに-1.3の小数部分は0.3でも-0.3でもありません。よくミスしやすいところなので注意してください。

小数部分は0から1の間で答えなくてはいけないので、-1.3の整数部分は-1ではなく-2、小数部分は-1.3-(-2)=0.7です。

\[
-\sqrt{47}
\nonumber\]

の整数部分、小数部分だと、

\[
-\sqrt{49}<-\sqrt{47}<-\sqrt{36}
\nonumber\]

\[
-7<-\sqrt{47}<-6
\nonumber\]

となり、整数部分は-7になります。小数部分は

\[
-\sqrt{47}-(-7)=-\sqrt{47}+7
\nonumber\]

となります。

【問題編1】平方根の整数・小数部分を求める

\[
\sqrt{68}の整数部分、小数部分を求めなさい
\nonumber\]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

できましたでしょうか?

\[
\sqrt{64}<\sqrt{68}<\sqrt{81}より8<\sqrt{68}<9
\nonumber\]

\[
整数部分は8、小数部分は\sqrt{68}-8\nonumber\]

 

【問題編2】平方根の整数・小数部分から式の値を求める

\[
\sqrt{32}の整数部分をa、小数部分をbとする。\nonumber\]

\begin{equation}
a^2  +abの値を求めなさい。
\end{equation}

 

 

 

 

 

 

整数部分と小数部分、さらに式の値まで求めるというよくある問題です。

\[
\sqrt{25}<\sqrt{34}<\sqrt{36}より5<\sqrt{34}<6
\nonumber\]

\[
整数部分(a)は5、小数部分(b)は\sqrt{34}-5\nonumber\]

 

a, bにそれぞれ代入して計算してみますと…

まとめ

整数部分を求めるポイントは下のような数で不等号「<」を使ってはさむ!

\[
\sqrt{4},\sqrt{9},\sqrt{16},\sqrt{25},\sqrt{36},\sqrt{49},\sqrt{64},\sqrt{81},\sqrt{100}…
\nonumber\]

例えばこんな風に。

\[
\sqrt{9}<\sqrt{13}<\sqrt{16}
\nonumber\]

\[
3<\sqrt{13}<4
\nonumber\]

と考えることで、求めたい整数部分が3とわかります。小数部分はもとの数から整数部分をひけばOKです。

平方根の整数部分・小数部分の問題、わかりましたでしょうか?お役に立てれば幸いです。