中2数学 連立方程式【発展】

中2数学 連立方程式【発展】

連立方程式は得意!という人でも、解き方を知らないと難しい問題もあります。普通連立方程式といえばx,yを求めるものですが、中には2組の連立方程式からx,yだけでなくa,bも求める問題があります。またA=B=Cと3つの式を=でつないだものもあります。

これらの連立方程式はどうやって解くの?前に習ったけどどうやって解くんだっけ?と悩んでいる人もいるのではないでしょうか。

そこで今回は2組の連立方程式から解を求める問題と、連立方程式A=B=Cを解く問題を解説します。連立方程式の加減法、代入法の解き方はわかっている人向けの問題です。

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2組の連立方程式

次の2組の連立方程式は解が等しい。a,bの値を求めなさい。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} -x+2 y=-9 \\ ax-by=12 \end{array} \right.\end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3x-y = 17 \\ -bx-2ay=3 \end{array} \right.\end{eqnarray}

a,bの値を求める前に、解(x,yの値)を求める必要があります。

2組の連立方程式は同じ解を持つので、まずは

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} -x+2 y=-9 \\ 3x-y = 17 \end{array} \right.\end{eqnarray}

よりx,yを求めます。

上の連立方程式を解くと、

\[
x=5, y=-2
\]

となります。これを

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ax-by=12 \\ -bx-2ay=3 \end{array} \right.\end{eqnarray}

上のa, bを含む式に代入すると

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 5a+2b=12 \\ -5b+4a=3 \end{array} \right.\end{eqnarray}

-5b+4a=3は4a-5b=3にして加減法を使えば解きやすいでしょう。

この連立方程式を解くと、

\[
a=2, b=1
\]

と求められます。

2組の連立方程式からa,bを求める問題を解く流れは、

  1. a,bを含まない方程式で連立方程式の組を作る
  2. x,yを求める
  3. a,bを含む連立方程式の組を作り、x,yを代入する
  4. a,bを求める

となります。

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連立方程式A=B=C

次の連立方程式を解きなさい。

\[
3x+2y=-x-4y=-5
\]

A=B=Cタイプの連立方程式は、

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A=B \\ B=C\end{array} \right.\end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A=C \\ B=C\end{array} \right.\end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A=B \\ A=C\end{array} \right.\end{eqnarray}

のいずれかで解きます。今回Cが数字のみなので A=C, B=Cが解きやすいでしょう。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=-5 \\ -x-4y=-5 \end{array} \right.\end{eqnarray}

を解くと、

\[
x=-3, y=2
\]

となります。

【問題編】連立方程式 発展編

他の問題で同様の問題にチャレンジしてみましょう。

問1 次の2組の連立方程式は解が等しい。a,bの値を求めなさい。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y=8 \\ ax-by=-1\end{array} \right.\end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2bx-ay =4 \\ 2x-y=1 \end{array} \right.\end{eqnarray}

答えを確認

問2 次の連立方程式を解きなさい。

\[
x+3y=7x+18y=-4x-y+17
\]

答えを確認

まとめ

2タイプの連立方程式の解き方を今回ご紹介しましたが、いかがでしたでしょうか。

1. 2組の連立方程式からa,bを求める問題では、まずa, bを含まない方程式で連立方程式の組を作ってx,yを求めるところからスタートする。

2. A=B=Cの連立方程式は、A=C, B=Cのように式を変形してから解く。

どちらの方程式もできるだけ簡単な連立方程式にする、というところは共通ですね。