高校数学A【図形の性質】三角形の重心・垂心・傍心まとめと問題

数学

 
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高校数学Aや、私立中学の数学でも学習する、三角形の重心・垂心・傍心に関するまとめと問題です。

重心・垂心・傍心の性質と、これらの基本問題について確認します。

執筆者:まいにちマナブ
元個別指導塾講師。20年以上中学生や中学受験生を中心に指導、教室長、塾長の経験もあり。保護者の方と多数面談も行ってきました。2018年より当サイトの運営を開始。

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三角形の重心

三角形の重心中線の交点になります。中線は各頂点から対辺の中点を結んでできる線のことです。

三角形の重心

重心は中線を2:1に内分します。

三角形の重心

三角形の各頂点から重心に線をひいてできた3つの三角形の面積は等しくなります。

三角形の重心

三角形の垂心

垂心は三角形の各頂点から下ろした垂線の交点です。

三角形の垂心

※ 外心は各辺の垂直2等分線ですので、混同しないよう注意してください。

三角形の傍心

傍心頂点の内角の2等分線と、他の2つの頂点の外角の2等分線との交点です。傍心を中心とした円を傍接円といい、傍心と傍接円は3つできます。(下の図でJA、JB、JCが傍心)

三角形の傍心

△ABCの内心は、傍心を結んでできた△JAJBJC垂心と一致します。(上の図で■+◯が90°となることから)

【問題編】三角形の重心・垂心・傍心

問1 下の図で\(G\)は△\(ABC\)の重心です。次の問いに答えましょう。

高校数学A【図形の性質】三角形の重心・垂心・傍心まとめと問題

(1) \(BD:DC\)はいくつになりますか。

(2) \(AG:GD\)はいくつになりますか。

(3) △\(GBD=5\)のとき、△\(ABC\)の面積はいくつになりますか。

→答えを見る

 

問2 下の図で\(H\)は△\(ABC\)の垂心です。\(\angle x\)を求めましょう。

高校数学A【図形の性質】三角形の重心・垂心・傍心まとめと問題

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問3 下の図で\(J\)は△\(ABC\)の傍心です。\(\angle x\)を求めましょう。

高校数学A【図形の性質】三角形の重心・垂心・傍心まとめと問題

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