高校数学Aや、私立中学の数学でも学習する、三角形の重心・垂心・傍心に関するまとめと問題です。
重心・垂心・傍心の性質と、これらの基本問題について確認します。
三角形の重心
三角形の重心は中線の交点になります。中線は各頂点から対辺の中点を結んでできる線のことです。
重心は中線を2:1に内分します。
三角形の各頂点から重心に線をひいてできた3つの三角形の面積は等しくなります。
三角形の垂心
垂心は三角形の各頂点から下ろした垂線の交点です。
※ 外心は各辺の垂直2等分線ですので、混同しないよう注意してください。
三角形の傍心
傍心は頂点の内角の2等分線と、他の2つの頂点の外角の2等分線との交点です。傍心を中心とした円を傍接円といい、傍心と傍接円は3つできます。(下の図でJA、JB、JCが傍心)
△ABCの内心は、傍心を結んでできた△JAJBJCの垂心と一致します。(上の図で■+◯が90°となることから)
【問題編】三角形の重心・垂心・傍心
問1 下の図で\(G\)は△\(ABC\)の重心です。次の問いに答えましょう。
(1) \(BD:DC\)はいくつになりますか。
(2) \(AG:GD\)はいくつになりますか。
(3) △\(GBD=5\)のとき、△\(ABC\)の面積はいくつになりますか。
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問2 下の図で\(H\)は△\(ABC\)の垂心です。\(\angle x\)を求めましょう。
→答えを見る問3 下の図で\(J\)は△\(ABC\)の傍心です。\(\angle x\)を求めましょう。
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