高校数学A「N進法の小数」考え方と問題まとめ

高校数学A「N進法の小数」考え方と問題まとめ

N進法の小数を10進数にする方法、10進数の小数をN進数で表す方法についてまとめました。

N進法の小数を10進数になおす問題では、小数点以下の位がN分の1、N2乗分の1…となっていくことが理解できれば、すんなり解けると思います。

逆にN進法の小数を10進数になおすときは、小数のかけ算を利用したちょっと特殊なやり方になります。こちらも1度やり方を覚えてしまえば簡単です。ポイントはN倍しつつ整数をはぶいていくことです。

スポンサーリンク

N進法の小数を10進法で表す

Marco LivolsiによるPixabayからの画像

N進法の小数では小数点以下の位を、\(\displaystyle\frac{ 1 }{n}\) 、\(\displaystyle\frac{1}{n^2}\) 、\(\displaystyle\frac{1}{n^3}\) 、\(\displaystyle\frac{1}{n^4}\) … と表すことができます。

例えば0.101(2)(2進数0.101)を10進数で表すと、

\(1×\displaystyle\frac{ 1 }{2}+0×\displaystyle\frac{1}{2^2}+1×\displaystyle\frac{1}{2^3}=0.625\)

0.32(5)(5進数0.32)なら、

\(3×\displaystyle\frac{ 1 }{5}+2×\displaystyle\frac{1}{5^2}=0.68\)

となります。

スポンサーリンク

10進数の小数をN進法で表す

10進数をN進法で表したいときは、

\(10進数=\displaystyle\frac{ a_1 }{n}+\displaystyle\frac{a_2}{n^2}+\displaystyle\frac{a_3}{n^3}+\displaystyle\frac{a_4}{n^4}…\)

とおいて、(整数部分をはぶきながら)両辺をくりかえしn倍し、a1、a2、a3、a4…の順に小数の各位の数を見つけていきます。

例えば10進数の0.625を2進法で表したければ、

\(0.625=\displaystyle\frac{ a_1 }{2}+\displaystyle\frac{a_2}{2^2}+\displaystyle\frac{a_3}{2^3}+\displaystyle\frac{a_4}{2^4}…\)

両辺を2倍すると、

\(1.25=a_1 +\displaystyle\frac{a_2}{2}+\displaystyle\frac{a_3}{2^2}…\)

となるので、a1=1とわかります。整数部分をはぶいて、つまり両辺からa1(=1)を引いた後、さらに両辺を2倍します

\(0.5={a_2}+\displaystyle\frac{a_3}{2}…\)

a2=0、両辺を2倍

\(1={a_3}…\)

a3=1、よって0.101と求められます。

しかしこのやり方だとわかりにくいですね。

筆算を使って求めるのが簡単です。

筆算で10進数の小数をN進法で表す

10進数の小数をN進法で表したいとき、かけ算の筆算を使うと簡単です。

10進数0.625を2進数になおしたければ、整数部分をはぶきながら2倍していきます。はぶいた整数が順に小数の各位の数になっていきます。

【問題編】N進法の小数

問1 次の数を、10進法の小数で表しましょう。

(1) 0.1101(2)

▼答え

(2) 0.34(8)

▼答え

問2 次の10進数の小数を、(  )内のN進法で表しましょう。

(1) 0.24(5進法)

▼答え

(2) 0.6875(2進法)

▼答え

まとめ

N進数の小数を10進数になおすときは、

\(a_1×\displaystyle\frac{ 1 }{n}+a_2×\displaystyle\frac{1}{n^2}+a_3×\displaystyle\frac{1}{n^3}+a_4×\displaystyle\frac{1}{n^4}\) …

と計算していきます。

10進数の小数をN進数になおすときは、「整数部分をはぶきながら」、N倍していくのがポイントです。N倍したときの整数部分が小数の各位の数になります。

数学カテゴリの最新記事