高校数学A【図形の性質】三角形の外心と内心まとめと問題

  • 2020.02.07
  • 更新日:2020.02.08
  • 数学
高校数学A【図形の性質】三角形の外心と内心まとめと問題

三角形の五心といえば、外心、内心、重心、垂心、傍心があります。その中から今回は外心と内心に関してまとめました。

三角形の外心と内心とはどのようなものなのか、その違いとは?

外心・内心を利用した問題の解き方を確認していきます。まぎらわしい問題もあるので内心・外心の違いをよくとらえておきましょう。

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三角形の外心と内心

三角形の外心と内心とは何なのか、その性質について確認します。

三角形の外心とは

外心とは三角形の外接円の中心のことです。三角形の各頂点から外心までの距離は半径にあたるため、すべて等しくなります。

外心は三角形の各辺における垂直二等分線の交点になります。

二等辺三角形が3つできることから、下の図のように〇、□、△の角は等しくなります。

鈍角三角形では外心は三角形の外部にできます。

三角形の内心とは

内心とは三角形の内接円の中心のことです。三角形の各辺から内心までの距離は半径となり、すべて等しくなります。

内心は三角形の各頂点の、角の2等分線の交点になります。

合同な三角形ができることから、下の図のように〇、□、△の角は等しくなります。また三角形の各頂点から接点までの距離は等しくなります。

三角形の外心と内心の違い

外心(外接円の中心)と内心(内接円の中心)には、次のような性質の違いがあります。

  • 外心は各辺の垂直2等分線の交点で、内心は角の2等分線の交点。
  • 外心は各頂点からの距離が等しく、内心は各辺からの距離が等しい。
  • 外心から各頂点に線をひくと二等辺三角形ができて底角が等しくなり、内心から各頂点に線をひくと角を2等分する。

違いに注意しながら、問題を解いてみましょう。

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【問題編】三角形の外心と内心

問1 次の図で点Oは△ABCの外心、点Iは△ABCの内心です。\(\angle x\)を求めましょう。

(1)

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(2)
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(3)

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(4)

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問2 下の図のIは△ABCの内心です。次の比を求めましょう。

(1) \(BD:DC\)

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(2)\(AI:ID\)

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