高校数学A【図形の性質】角の2等分線と比まとめと問題

数学

 
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内角・外角の2等分線と比に関するまとめと問題です。

簡単な証明と確認問題があるので、基本から理解したい、問題の解き方を知りたいという方におすすめです。

執筆者:まいにちマナブ
元個別指導塾講師。20年以上中学生や中学受験生を中心に指導、教室長、塾長の経験もあり。保護者の方と多数面談も行ってきました。2018年より当サイトの運営を開始。

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内角の2等分線と比

\(△ABC\)の\(\angle A\)の内角の2等分線と、辺\(BC\)の交点を\(D\)とするとき、点\(D\)は\(BC\)を\(AB:BC\)に内分します。(\(AB:AC=BD:DC\))

高校数学A【図形の性質】角の2等分線と比まとめと問題

なぜ上のようになるのでしょうか。

\(AD\)の延長線と、点\(B\)を通り\(AC\)に平行な線との交点を\(E\)とすると、\(△EBD∽△ACD\)になるので、\(AC:EB=BD:DC\)となります。

高校数学A【図形の性質】角の2等分線と比まとめと問題

また\(△ABE\)は2等辺三角形になので\(AB=BE\)になり、\(AB:BC=BD:DC\)となります。

外角の2等分線と比

\(△ABC\)の\(\angle A\)の外角の2等分線と、辺\(BC\)の延長上との交点を\(D\)とするとき、点\(D\)は\(BC\)を\(AB:BC\)に内分します。(\(AB:AC=BD:DC\))

高校数学A【図形の性質】角の2等分線と比まとめと問題

このことは\(AD\)と平行な補助線をひくことで証明できます。

\(AB\)と、点\(C\)を通り\(AD\)に平行な線との交点を\(E\)とします。同位角、錯覚が等しくなるため\(\angle AEC=\angle ACE\)となります。\(△BAC\)で\(BA:EA=BD:CD\)となります。

高校数学A【図形の性質】角の2等分線と比まとめと問題

また\(△ABE\)は2等辺三角形になので\(AE=AC\)になります。よって\(AB:AE=AB:AC=BD:CD\)

【問題編】角の2等分線と比

問1 下の図で\(AD\)は\(\angle A\)の内角の2等分線で、\(AE\)は\(\angle A\)の外角の2等分線を表しています。\(AB=9\)、\(BC=10\)、\(CA=6\)のとき、次の問いに答えましょう。

高校数学A【図形の性質】角の2等分線と比まとめと問題

(1)\(BD:DC\)の比はいくつですか。

→答え

(2)\(BD\)の長さはいくつですか。

→答え

(3)\(CE\)の長さはいくつですか。

→答え

問2 下の図の\(△ABC\)で\(AD\)は\(\angle A\)の2等分線、\(BE\)は\(\angle B\)の2等分線、\(AB=9\)、\(BC=8\)、\(CA=7\)のとき、\(AF:FD\)の比を求めましょう。

→答え
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